Question

我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题．

如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数y＝的图象分别交于第一、三象限的点B、D，已知点A(－m，0)、C(m，0)．

(1)直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是________；

(2)①当点B为(p，1)时，四边形ABCD是矩形，试求p、α、和m有值；

②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？(不必说理)

(3)试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标，若不能，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)平行四边形　　(3分) 　　(2)∵点在的图象上，∴ 　　∴　　(4分) 　　过作，则 　　在中， 　　α＝30°　　(5分) 　　∴ 　　又∵点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点， 　　∴点B、D关于原点O成中心对称　　(6分) 　　∴OB＝OD＝ 　　∵四边形为矩形，且 　　 　　∴　　(7分) 　　∴　　(8分) 　　能使四边形为矩形的点B共有2个　　(9分) 　　(3)四边形不能是菱形　　(10分) 　　法一：∵点、的坐标分别为、 　　∴四边形的对角线在轴上． 　　又∵点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点． 　　∴对角线与不可能垂直． 　　∴四边形不能是菱形 　　法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD，且AC与BD互相平分， 　　因为点A、C的坐标分别为(－m，0)、(m，0) 　　所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上　　(11分) 　　所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾， 　　所以四边形ABCD不可能为菱形　　(12分)