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    如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．
    （1）求抛物线的函数表达式；
    （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
    ①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；
    ②当S最大时，在抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．
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    分析：（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
    （2）①先用m 表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数，化简为顶点式，便可求出S的最大值；
    ②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．
    解答：解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c，
    c=8
    -
    4
    9
    ×36+6b+c=0
    ，
    解得
    b=
    4
    3
    c=8
    ，
    ∴抛物线的解析式为y=-
    4
    9
    x2+
    4
    3
    x+8；

    （2）①∵OA=8，OC=6精英家教网
    ∴AC=
    		OA2+OC2
    =10，
    过点Q作QE⊥BC于E点，则sin∠ACB=
    QE
    QC
    =
    AB
    AC
    =
    3
    5
    ，
    ∴
    QE
    10-m
    =
    3
    5
    ，
    ∴QE=
    3
    5
    （10-m），
    ∴S=
    1
    2
    •CP•QE=
    1
    2
    m×
    3
    5
    （10-m）=-
    3
    10
    m2+3m=-
    3
    10
    （m-5）2+
    15
    2
    ，
    ∴当m=5时，S取最大值；
    ②在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
    ∵抛物线的解析式为y=-
    4
    9
    x2+
    4
    3
    x+8的对称轴为x=
    3
    2
    ，
    D的坐标为（3，8），Q（3，4），
    当∠FDQ=90°时，F1（
    3
    2
    ，8），
    当∠FQD=90°时，则F2（
    3
    2
    ，4），
    当∠DFQ=90°时，设F（
    3
    2
    ，n），
    则FD2+FQ2=DQ2，
    即
    9
    4
    +（8-n）2+
    9
    4
    +（n-4）2=16，
    解得：n=6±
    		7
    2
    ，
    ∴F3（
    3
    2
    ，6+
    		7
    2
    ），F4（
    3
    2
    ，6-
    		7
    2
    ），
    满足条件的点F共有四个，坐标分别为
    F1（
    3
    2
    ，8），F2（
    3
    2
    ，4），F3（
    3
    2
    ，6+
    		7
    2
    ），F4（
    3
    2
    ，6-
    		7
    2
    ）．
    点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
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    17、如图，矩形OABC中，O是原点，OA=8，AB=6，则对角线AC和BO的交点H的坐标为
    （4，3）
    ．

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    （2013•宛城区一模）如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c经过A，C两点，与AB边交于点D．

    （Ⅰ）求抛物线的解析式；
    （Ⅱ）动点P从C出发，沿线段CB向终点B运动，同时动点Q从A出发，沿线段AC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，连接PQ，设运动时间为t秒，△CPQ的面积为S．
    （1）求S关于t的函数表达式，并求出t为何值时，S取得最大值；
    （2）当S最大时，从以下①，②中任选一题作答，若两题都做只以第①题计分．
    ①在抛物线y=-
    4
    9
    x2+bx+c的对称轴l上，是否存在点F，使△FDQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；否则请说明理由．
    ②在坐标平面内，是否存在点F，使以C，P，Q，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；否则请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，矩形OABC中，OA=2，OC=1，把矩形OABC放在数轴上，O在原点，OA在正半轴上，把矩形的对角线OB绕着原点O顺时针旋转到数轴上，点B的对应点为B′，则点B′表示的实数是（　　）

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