Question

15．在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，G，H分别为AD，BC的中点，求证：EF和GH互相平分．

Answer 1

分析 首先连接BG、DH，由在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，利用AAS证明△ABE≌△CDF，得出BE=DF，证明四边形BHDG是平行四边形，得出对角线互相平分OG=OH，OB=OD，求出OE=OF，结论得出结论．

解答 证明：连接BG、DH，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}\\{∠AEB=∠CFD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，
∵G、H分别为AD、BC的中点，
∴DG=BH，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∴OG=OH，OB=OD，
∴OB-BE=OD-DF，
∴OE=OF，
即EF、GH互相平分．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．