Question

26、如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，OA，OB（OA?OB）的长分别是关于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的两根，C（0，3），且△ABC的面积为6，
（1）求∠ABC的度数；
（2）如图二，过点C作CD⊥AC交x轴于点D，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）要求∠ABC的度数，需先求出OB的长；先利用△ABC的面积求出OA+OB的值进而求出m，得出方程式，进而求出OA、OB的值，从而求出∠ABC的度数；
（2）先设出D点的坐标，再根据D点坐标分表示出Rt△ACD的三条边，根据勾股定理列出方程，从而求出D点坐标．

解答：解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
∵△ABC的面积为6，
∴AB=4，
∵OA、OB的长分别是关于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的两根，
∴OA+OB=4m=4
∴m=1
∴一元二次方程x²-4mx+m²+2=0可化为：x²-4x+3=0
解得：x₁=1 x₂=3
即OA=1，OB=3
在Rt△OBC中，OB=OC
∴∠ABC=45°；

（2）设D点坐标为（x，0）
在Rt△ACD中
AC²+CD²=AD²
即：（1-0）²+（0-3）²+（x-0）²+（0-3）²=（1+x）²
解得：x=9
即：D点坐标为（9，0）．

点评：本题考查综合应用点的坐标，三角形的面积．