Question

10．如图，△ABC中，点D在边BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且满足DE=DH，F为AE的中点，G为直线AC上一动点，满足DG=DF．若AE=4cm，则AG=2或6cm．

Answer 1

分析 由AE=4且F为AE的中点知AF=EF=2cm，证Rt△DEF≌Rt△DHG得EF=HG=2cm，证Rt△ADE≌Rt△ADH得AH=AE=4cm，分点G在AH和CH上分别求解可得．

解答 解：∵AE=4cm、F为AE的中点，
∴AF=EF=2cm，
∵DE⊥AB，DH⊥AC，
∴∠DEF=∠DHG=90°，即△DEF和△DHG均为直角三角形，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{DF=DG}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴EF=HG=2cm，
在Rt△ADE和Rt△ADH中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴AH=AE=4cm，
如图，

当点G在AH上时，AG=AH-HG=2cm；
当点G在CH上时，AG=AH+HG=6cm；
故答案为：2或6．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的判定与性质是解题的关键．