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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，精英家教网交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
    （1）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
    （2）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．
    分析：（1）作QF⊥AC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函数解析式；
    （2）当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由线段的对应比例关系求t．
    解答：精英家教网解：（1）作QF⊥AC于点F，如图1，AQ=CP=t，
    ∴AP=3-t．
    由△AQF∽△ABC，BC=
    		52-32
    =4，
    得
    QF
    4
    =
    t
    5
    ．
    ∴QF=
    4
    5
    t    ．
    ∴在点P从C向A运动的过程中，△APQ的面积S=
    1
    2
    （3-t）•
    4
    5
    t    ；
    （2）能．
    ①当由△APQ∽△ABC，DE∥QB时，如图2．精英家教网
    ∵DE⊥PQ，
    ∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
    此时∠AQP=90°．
    由△APQ∽△ABC，得
    AQ
    AC
    =
    AP
    AB
    ，
    即
    t
    3
    =
    3-t
    5
    ．解得 t=
    9
    8
    ；
    ②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
    此时∠APQ=90°．
    由△AQP∽△ABC，得
    AQ
    AB
    =
    AP
    AC
    ，
    即
    t
    5
    =
    3-t
    3
    ．精英家教网
    解得 t=
    15
    8
    ．
    点评：本题考查了相似三角形的判定定理，线段比的有关知识，利用二次函数的相关知识以及实际应用相结合，同时考生要注意巧妙利用辅助线的帮助解答，难度较大．
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    55
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