Question

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且ED是⊙O的切线．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若∠C=30°，CD=8cm，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵ED是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC．

（2）解：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又BD=CD，
∴AB=AC．
在直角三角形ACD中，∠C=30°，CD=8cm，
∴AC=，
则圆的半径是cm．
分析：（1）连接OD．根据切线的性质，得OD⊥DE．根据三角形的中位线定理，得OD∥AC，从而证明结论；
（2）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，再根据线段垂直平分线的性质，得AB=AC．在直角三角形ACD中，根据30°直角三角形的性质进行求解．
点评：此题综合运用了切线的性质、三角形的中位线定理、圆周角定理的推论以及30°直角三角形的性质．注意：连接过切点的半径、构造直径所对的圆周角为直角，是圆中常见的辅助线．