Question

1．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，D为AC上的一点，AD=2CD，AE⊥AB交BD的延长线于E，则$\frac{DE}{DB}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 过D作DF⊥AB于G，DG∥BC交AB于G．根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{AG}{GB}$=$\frac{AD}{DC}$=2，即AG=2GB．再利用AAS证明△AFD≌△GFD，得出AF=GF，那么$\frac{FA}{FB}$=$\frac{1}{2}$．易证DF∥AE，根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{DE}{DB}$=$\frac{FA}{FB}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：如图，过D作DF⊥AB于G，DG∥BC交AB于G．
∵DG∥BC，AD=2CD，
∴$\frac{AG}{GB}$=$\frac{AD}{DC}$=2，∠DGA=∠CBA，
∴AG=2GB．
∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠CAB=∠DGA．
在△AFD与△GFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠DGF}\\{∠AFD=∠GFD=90°}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△GFD，
∴AF=GF，
∴AF=GF=GB，
∴$\frac{FA}{FB}$=$\frac{1}{2}$．
∵DF∥AE，
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{FA}{FB}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．