Question

半径为5的⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知 BC∶CA=4∶3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q。
（1）求证：△ABC∽△PQC；
（2）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；
（3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长；
（4）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长。

Answer 1

解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB =90°， 在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°， ∵∠CPQ=∠CAB， ∴△ABC∽△PQC； （2）当点P运动到与点C关于AB对称时，此时CP⊥直径AB于D， ∴CP=2CD， ∵AB=10， BC∶CA=4∶3， ∴BC=8，AC=6， 又∵AC·BC=AB·CD， ∴CD=4.8， ∴CP=2CD=9.6， ∵△ABC∽△PQC， ∴， ∴CQ=12.8， （3）因为点P在⊙O上运动过程中，始终有△ABC∽△PQC， 所以PC最大时，CQ取到最大值， ∴当PC过圆心O，即PC 取最大值10时，CQ最大，最大为； （4）当点P运动到弧CP的中点时，如图所示，过点B作BE⊥PC于点E， ∵P是弧AB的中点，∠PCB=45°， ∴∠PCA=45°，在Rt△CBE中，  ∴CE=BE=4， 易证：△ABC∽△PBE， ∴PE=3， ∴CP=7， ∴CQ=7×=。