Question

18．在四边形ABCD中，AC=4，CD=3，∠ADB=∠ABD=∠ACD=45°，求BC．

Answer 1

分析 根据已知条件得到∠BAD=90°，A，B，C，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADB=45°，由三角形的内角和得到∠BCD=90°，根据勾股定理于是得到结论．

解答 解：过D作DE⊥AC于E，
∵∠ADB=∠ABD=∠ACD=45°，
∴∠BAD=90°，A，B，C，D四点共圆，
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∴∠BCD=90°，
∵CD=3，
∴CE=DE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵AC=4，
∴AE=4-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=25-12$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{2}$AD=25$\sqrt{2}$-24，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{41-24\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$-3．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，四点共圆，勾股定理，余弦定理，熟练掌握余弦定理是解题的关键．