Question

9．已知抛物线过A（3，0）、B（1，0）、C（0，3），点P在抛物线对称轴上．∠APC=45°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 先利用待定系数法求抛物线的解析式，表示其顶点坐标和对称轴，再求直线AC的解析式，求M的坐标，知道AN=ND=1=MN，得△AMN、△AND、△AOC都是等腰直角三角形，则∠NAD=∠NDA=45°=∠CAB=∠AMN，设P（2，y），
分两种情况：当P在D的下方和上方时，证明△CMP∽△ADP和△CPA∽△CPM，列比例式可求出y的值，写出点P的坐标．

解答 解：设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
把A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
顶点为D（2，-1），对称轴为：直线x=2，
设对称轴与x轴的交点为N，连接AC、AD，
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（3，0）、C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-x+3，
当x=2时，y=-2+3=1，
∴对称轴与直线AC的交点M（2，1），
∴AN=ND=1=MN，
∴根据勾股定理得：MC=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，∠NAD=∠NDA=45°=∠CAB=∠AMN，
分两种情况：
①当P在D的下方，如图1，设P（2，y），
∵∠APC=45°，
∴∠CPD+∠APD=45°，且∠DAP+∠APD=45°，
∴∠CPD=∠DAP，且∠CMN=∠PDA=135°，
∴△CMP∽△ADP，
∴$\frac{CM}{DP}=\frac{PM}{AD}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{-1-y}=\frac{1-y}{\sqrt{2}}$，
∴y=-$\sqrt{5}$，
∴P（2，-$\sqrt{5}$），
②当P在D的上方时，如图2，同理可证△CPA∽△CPM，
∴$\frac{AC}{PC}=\frac{PC}{MC}$，
∴PC²=AC•MC，
∴2²+（y-3）²=3$\sqrt{2}$•$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$，
（y-3）²=8，
y=3±2$\sqrt{2}$，
∵y＞0，
∴y=3+2$\sqrt{2}$，
∴P（2，3+2$\sqrt{2}$），
综上所述，点P的坐标为（2，-$\sqrt{5}$）或（2，3+2$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的性质及图象上的点的坐标特点，先设所求点的坐标，并根据函数的关系式求出相关的点的坐标及线段的长，本题找到一对相似三角形列比例式是关键，与方程结合求出点P的坐标．