Question

AB为⊙O的直径，C为弧AE的中点，CD⊥AB于D，AE交CD于点P，边接CB，过E作EF∥BC，交AB的延长线于F．
（1）求证：PA=PC．
（2）当E点在什么位置时，EF是⊙O的切线？

Answer 1

（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠ACD=∠ABC，
∵C为的中点，
∴=，
∴∠CAE=∠ABC，
∴∠ACD=∠CAE，
则PA=PC；

（2）当E为中点时，EF为圆O的切线，理由为：
若E为中点，连接OE，由垂径定理得到OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∴EF为圆O的切线．
分析：（1）连接AC，由CD与AB垂直，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由C为弧AE的中点，得到两条弧相等，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边即可得证；
（2）当E为弧BC中点时，EF是圆O的切线，理由为：若E为弧BC中点，利用垂径定理得到OE垂直于BC，由BC与EF平行，得到OE与EF垂直，即可得出EF为圆O的切线．
点评：此题考查了切线的判定，垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．