Question

甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲乙两数的最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？

Answer 1

分析：先把最小公倍数是2800分解质因数，2800=2⁴×5²×7，根据“甲数有9个约数”，甲数的约数的个数是奇数，说明甲数是一个完全平方数；又可知甲数的质因数的指数加1的积是：9=3×3=（2+1）×（2+1）；所以甲数是2²×5²=4×25=100；同理，根据“乙数有10个约数，”可知乙数的质因数的指数加1的积是：10=2×5=（1+1）×（4+1），所以乙数是2⁴×7¹=16×7=112，据此解答．

解答：解：2800=2⁴×5²×7，
设甲数是N，乙数是M，
因为N的约数的个数是奇数，说明它是一个完全平方数；则它的质因数的指数加1的积是：
9=3×3=（2+1）×（2+1）；
所以甲数是：N=2²×5²=4×25=100；
同理，M的质因数的指数加1的积是：
10=2×5=（1+1）×（4+1），
所以乙数是：M=2⁴×7¹=16×7=112．
答：甲数是100，乙数是112．

点评：考查了约数与倍数，此题是数论中的约数个数问题；即一个合数的约数个数的计算公式：N=p^α×q^β×r^γ（其中N为合数，p、q、r是质数），则N的约数共（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．