Question

（2011年青海，28,12分已知一元二次方程x²－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.如图12，若抛物线y=-x²+bx

+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n）.

（1）求抛物线的解析式.

（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？

（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵x²－4x+3=0的两个根为  x₁=1,x₂=3

∴A点的坐标为（1,0），B点的坐标为（0,3）

又∵抛物线y=－x²+bx+c的图像经过点A（1,0）、B（0,3）两点

∴抛物线的解析式为  y=－x²-2x+3

（2）作直线BC

由（1）得，y=－x²-2x+3

∵ 抛物线y=－x²－2x+3与x轴的另一个交点为C  令－x²－2x+3=0

解得：x₁=1，x₂=－3

∴C点的坐标为（－3,0）

由图可知：当－3＜x＜0时，抛物线的图像在直线BC的上方.

(3)设直线BC交PE于F，P点坐标为（a,0）,则E点坐标为（a，－a²－2a+3）

∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分.

∴F是线段PE的中点.

即F点的坐标是（a，）

∵直线BC过点B（0.3）和C(-3,0)

易得直线BC的解析式为y=x+3

∵点F在直线BC上，所以点F的坐标满足直线BC的解析式

即=a+3

解得  a₁=－1,a₂=－3(此时P点与点C重合，舍去)

∴P点的坐标是（－1,0）

【解析】略