Question

14．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：
①abc＜0；②b²-4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）²＜b²，其中正确的结论为（　　）

• A． ①②
• B． ②④
• C． ①③④
• D． ①③

Answer 1

分析 ①根据抛物线开口向下，得到a＜0．由抛物线与y轴交于正半轴，得到c＞0．由抛物线对称轴在y轴左侧，b与a同号，得到b＜0．于是得到abc＞0．故①错误；
②根据抛物线与x轴有两个交点，b²-4ac＞0．故②正确．
③当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0 （1），当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2），两式相加即可得到结果；
④由x=1时，y=a+b+c＜0，x=-1时，y=a-b+c＞0，即可得到结果．故④正确．

解答 解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0．
又∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．
又∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴b与a同号，即b＜0．
∴abc＞0．故①错误．
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b²-4ac＞0．故②正确．
③当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0 （1），
当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2），
（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0．
又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③错误．
④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=-1时，y=a-b+c＞0，
∴（a+b+c）（a-b+c）＜0，即[（a+c）+b][（a+c）-b]=（a+c）²-b²＜0．
∴（a+c）²＜b²．故④正确．
综上所述，正确的结论为②④．
故选B．

点评 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．