Question

已知AB是⊙O的一条弦，P是⊙O外一点，PB切⊙O于B，PA交⊙O于C，且AC=BC，PD⊥AB于D，E是AB的中点，DE=2008．则PB的值为（　　）

• A、1004
• B、2008
• C、4016
• D、8032

Answer 1

分析：连接OB．设OE=a，EB=x，OB=m．在直角三角形OEB中，根据勾股定理列出一个等式，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由直角相等得到三角形BOE和三角形PBD相似，又PD与OC都与AB垂直得到PD与CO平行，根据两直线平行同位角相等得到两对同位角相等，从而得到三角形ACE与三角形APD相似，根据相似三角形的性质得比例线段列出两个关系式，三个关系式联立化简后，再利用分比合比性质变形得到一个关系式，最后由相似三角形EOB与DBP，得到关于PB的关系式，与化简后的关系式比较即可求出PB的长．

解答：解：连接OB．
∵E是AB的中点，
∴OC⊥AB，又PD⊥AB，
∴∠PDA=∠CEA=90°，又∠A为公共角，
∴△AEC∽△ADP，
∵BP为圆O的切线，∴OB⊥BP，
∴∠OBP=90°，即∠PBD+∠OBE=90°，
又∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠PBD=∠BOE，又∠PDB=∠BEO=90°，
∴△EBO∽△BDP，
设OE=a，EB=x，OB=m．
由△AEC∽△ADP，
∴

EA

AD

=

CE

PD

，即x：（x+2008）=（m-a）：DP；
由△EBO∽△BDP，
∴

BE

PD

=

OE

DB

，即x：PD=a：（x-2008）；
∵△OBE为直角三角形，
根据勾股定理得：OB²=EB²+OE²，
即a²+x²=m²，故x²=（m-a）（m+a）．
三式联立得：（2008-x）：（2008+x）=a：（m-a），
可化为：（2008-x）：4016=a：m．
在相似三角形EOB与DBP中，（2008-x）：BP=a：m，
所以BP=4016．
故选C．

点评：本题主要考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形等知识点，用相似三角形得出线段之间的比例关系是解题的关键．