Question

20．如图，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q，若PA=3，PB=2$\sqrt{2}$，PC=5，求∠BQC的度数．

Answer 1

分析 根据题意得出△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，进而得出∠PBQ=90°，再利用勾股定理的逆定理得出∠PQC的度数，进而求出∠BQC的度数．

解答 解：如图，连接PQ．
由旋转可知：BQ=BP=2$\sqrt{2}$，QC=PA=3．
又∵ABCD是正方形，
∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，
即∠PBQ=90°，
∴∠PQB=45°，PQ=4．
则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，
∴PC²=PQ²+QC²，
即∠PQC=90°．
∴∠BQC=∠PQB+∠PQC=45°+90°=135°．

点评 此题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理的逆定理和正方形的性质等知识，利用勾股定理的逆定理得出∠PQC=90°是解题的关键．