Question

9．△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，AF平分∠DAC，点E是AC的中点，BE的延长线交AF于点F，试猜想AF与BC的位置关系和数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 注意到等腰三角形的两底角相等，顶角等于两底角之和，又由于AF平分顶角的外角，从而易得∠FAC=∠BCA，进而得AF∥BC，△AEF与△CEB全等，从而AF=BC．

解答 解：如图，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AF平分∠CAD，
∴∠CAF=∠FAD，
∵∠CAD=∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB=∠CAF，
∴AF∥BC，
在△AEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠ECB}\\{AE=CE}\\{∠AEF=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF=BC．
综上所述，AF∥BC，AF=BC．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质等知识点，难度适中．