Question

如图，在四边形ABCD中，DE∥BC，BD=CD，∠BCE=90°，以BD为直径的⊙O交CE于F、G，交BC于M．
（1）求证：BC=2DE；（2）求证：EF=CG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）连接DM，由等腰三角形的性质可得BM=CM，再证明四边形DECM是矩形可得DE=CM，进而证明BC=2DE；
（2）连接DF，GM，证明△RtDEF≌Rt△MCG即可得到EF=CG．

解答：证明：（1）连接DM，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠DMC=90°，
∴DM⊥BC，
∵BD=CD，
∴BM=CM，
∵∠BCE=90°，
∴DM∥CE，
∵DE∥BC，
∴四边形DECM是矩形，
∴DE=CM；
∴BC=2DE；

（2）连接DF，GM，
∵DM∥EC，
∴∠MDC=∠DCE，
∴MG=DF，
∵四边形DECM是矩形，
∴DE=CM，∠DEF=∠MCG=90°，
在△RtDEF和Rt△MCG中，

DE=CM DF=MG

，
∴△RtDEF≌Rt△MCG（HL），
∴EF=CG．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质以及矩形的判定和性质，同时也考查了学生的推理证明的能力．