Question

2．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（　　）

• A． 2π-4
• B． 4π-8
• C． $\frac{8π-6\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{16π-12\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，求出AB的长，∠AOB的大小即可解决问题．

解答 解：由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，
∵P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴OP=2，∵OA=OB=4，
∴PA=PB=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠AOP=tan∠BOP=$\sqrt{3}$，
∴∠AOP=∠BOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∴S_阴=S_扇形OAB-S_△AOB=$\frac{120•π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$$•2\sqrt{3}$•2=$\frac{16π-12\sqrt{3}}{3}$，
故选D．

点评 本题考查扇形的面积的计算、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，属于中考常考题型．