Question

如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为

2

，则O点到BE的距离OM=（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  5

• C．

  5

  6

• D．

  5

  5

Answer 1

分析：连接OA、OB、OD，求出AD，求出CE，根据勾股定理求出BE，根据相交弦定理求出EF，根据垂径定理求出BM，在△BOM中，根据勾股定理求出OM即可．

解答：解：连接OD，OA，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠AOD=

1

4

×360°=90°，
在△AOD中，由勾股定理得：AD=

OD2+OA2

=

( 2 )2+( 2 )2

=2，
∴CD=AD=BC=2，
∵E是CD中点，
∴DE=CE=1，
在△BCE中由勾股定理得：BE=

22+12

=

5

，
由相交弦定理得：CE×DE=BE×EF，
即1×1=

5

EF，
∴EF=

5

5

，
∴BF=

5

5

+

5

=

6 5

5

，
∵OM⊥BF，OM过圆心O，
∴BM=FM=

1

2

BF=

3 5

5

，
在△BOM中，由勾股定理得：OB²=OM²+BM²，
即(

2

)2=OM²+(

3 5

5

)2，
解得：OM=

5

5

，
故选D．

点评：本题综合运用了垂径定理，勾股定理，相交弦定理，正方形的性质等知识点，关键是构造直角三角形，并进一步求出BM长，主要培养了学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，具有一定的代表性，难度适中．