Question

已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）若BC⊥AB，且BC=12，AB=8，求AF的长．

Answer 1

（1）证明：∵E为BC的中点，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AE=FE，
又∵在四边形ABFC中，BE=CE，
∴四边形ABFC是平行四边形；

（2）解：∵BC=12，E是BC的中点，
∴BE=BC=×12=6，
∵BC⊥AB，
∴AE===10，
∴AF=2AE=2×10=20．
分析：（1）根据中点的定义可得BE=CE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE，然后利用“角角边”证明△ABE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=FE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明；
（2）先求出BE的长，再利用勾股定理列式求出AE，然后根据平行四边形的对角线互相平分可得AF=2AE，代入数据计算即可得解．
点评：本题考查了梯形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合题，但难度不大，熟练掌握各判定与性质是解题的关键．