Question

18．如图，一次函数y=x+2的图象L₁与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线L₂：y=-$\frac{1}{2}$x²+tx-1与x轴的交点分别为C、D（点C在点D的左侧）．
（1）当L₂的顶点在L₁上时，求t的值．
（2）若C、D两点中有一点与点A关于原点对称，试判断这个点是点C还是点D．
（3）若L₂的顶点为E，对称轴与L₁的交点为F，且点E在点F的下方，t为何值时，线段EF的长最大．

Answer 1

分析 （1）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标，代入直线y=x+2中，即可得出结论．
（2）先确定出点A的坐标，进而确定出点A，关于原点的对称点的坐标，进而得出抛物线解析式，另为确定出点C，D坐标，进行判定即可得出结论；
（3）先建立EF与t的函数关系式，即可得出结论．

解答 解：（1）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+tx-1=-$\frac{1}{2}$（x-t）²+$\frac{1}{2}$t²-1，
∴抛物线的顶点坐标为（t，$\frac{1}{2}$t²-1），
∵L₂的顶点在L₁上，
∴$\frac{1}{2}$t²-1=t+2，
∴t=1+$\sqrt{7}$或t=1-$\sqrt{7}$；
（2）令y=0，
∴x+2=0，
∴x=-2，
∴A（-2，0），
∴点A关于原点的对称点的坐标为（2，0），
∵该点在抛物线上，
∴0=-$\frac{1}{2}$×4+2t-1，
∴t=$\frac{3}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$-1=0，
令y=0，
∴-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$-1=0，
∴x=1或x=2，
∵点C在点D左侧，
∴C（1，0），D（2，0），
∴与点A关于原点对称的点是D；
（3）由（1）知，E（t，$\frac{1}{2}$t²-1），
在直线L₁：y=x+2中，
令x=t，∴y=t+2，
∴F（t，t+2），
∵点E在点F的下方，
∴EF=t+2-（$\frac{1}{2}$t²-1）=-$\frac{1}{2}$（t-1）²+$\frac{7}{2}$，
∴当t=1时，EF最大，最大值为$\frac{7}{2}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的一般形式化为顶点式的方法，对称性，极值的确定方法，解本题的关键是确定出抛物线的解析式，是一道基础题目．