Question

4、把1，2，3…，127，128这128个数任意排列为a₁，a₂，…，a₁₂₈，计算出|a₁-a₂|，|a₃-a₄|，…，|a₁₂₇-a₁₂₈|，再将这64个数任意排列为b₁，b₂，…，b₆₄，计算|b₁-b₂|，|b₃-b₄|，…，|b₆₃-b₆₄|．如此继续下去，最后得到一个数x，问x是奇数还是偶数？

Answer 1

分析：对于一个整数a，有|a|≡a（mod2），a≡-a（mod2），则b₁+b₂+…+b₆₄≡a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₂₇+a₁₂₈（mod2），因此，每经过一次“运算”，这些数的和的奇偶性是不改变的．最终得到的一个数x≡a₁+a₂+…+a₁₂₈≡0（mod2），故x的奇偶性可知．

解答：解：因为对于一个整数a，有
|a|≡a（mod2），a≡-a（mod2），
所以b₁+b₂+…+b₆₄
=|a₁-a₂|+|a₃-a₄|+…+|a₁₂₇-a₁₂₈|
≡a₁-a₂+a₃-a₄+…+a₁₂₇-a₁₂₈
≡a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₂₇+a₁₂₈（mod2），
因此，每经过一次“运算”，这些数的和的奇偶性是不改变的．最终得到的一个数
x≡a₁+a₂+…+a₁₂₈
=1+2+…+128
=64×129
≡0（mod2），
故x是偶数．

点评：本题考查了同余问题．如果要求一个整数除以某个正整数的余数，同余是一个有力的工具．另外，求一个数的末位数字就是求这个数除以10的余数，求一个数的末两位数字就是求这个数除以100的余数．