Question

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，AB交OP于D．
（1）证明：AD⊥OP；
（2）若AC=10，sinC=，求PA．

Answer 1

（1）证明：∵PA、PB为圆O的切线，
∴PO平分∠APB，PA=PB，
∴AD⊥OP；
（2）解：∵AC为直径，
∴AB⊥BC，
∵OP⊥BC，
∴OP∥BC，
∴∠AOP=∠C，
∴sin∠AOP=sinC=，
∵PA为圆O的切线，
∴OA⊥PA，
在Rt△AOP中，设OA=5=3x，则OP=5x，
则PA=4x=．
分析：（1）由PA与PB为圆O的切线，利用切线长定理得到PO为角平分线，利用三线合一即可得证；
（2）由AC为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AB垂直于BC，再由OP垂直于AB，得到OP与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠AOP=∠C，进而得到sinC=sin∠AOP，由AC求出OA的长，在直角三角形AOP中，设OA=3x，得到OP=5x，AP=4x，求出x的值，即可确定出PA的长．
点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．