Question

设M是边长为2的正三角形ABC的边AB上的中点，P是边长BC上的任意一点，求PA+PM的最小值．

Answer 1

解：作A关于BC的对称点A'，连接MA'，作MF⊥AG．
∵A、A'关于BC对称，
∴PA=PA'，
∴PA+PM=PA'+PM=MA'，
此时MA'的值即为PA+PM的最小值．
∵AG⊥BC，
又∵△ABC为等边三角形，
∴BG=CG=BC=×2=1．
∴AG==．
∵M为AB的中点，MF⊥AG，
∴MF为△ABG的中位线，
∴MF=BG=，FG=AG=×=，FA'=FG+GA'=+=，
∴A'M==．
分析：作出A关于BC的对称点A'，将PA+PM的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题，并利用等边三角形的性质和勾股定理解答．
点评：此题结合等边三角形的性质考查了轴对称最短路径问题，作出A的对称点利用轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．