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    在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

    思考验证：
    （1）求证：DE=DF；
    （2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；
    归纳结论：
    （3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°-α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）
    探究应用：
    （4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．
    【答案】分析：（1）根据已知推出∠C=∠DBF，根据SAS证△DEC≌△DFB即可；
    （2）连接AD，根据SSS证△ACD≌△ABD，推出∠CDA=∠BDA=60°，推出∠GDF=60°，得出△DGF≌△DEG，推出FG=EG即可；
    （3）根据（1）（2）即可猜出结论；
    （4）过C作CM⊥AD交AD的延长线于M，根据全等三角形的性质得出AM=AB，BC=CM，根据结论得出BE+DM=DE，根据勾股定理求出DE，代入即可．
    解答：（1）证明：∵∠A+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠A=60°，∠CDB=120°，
    ∴∠C+∠ABD=180°，
    ∵∠ABD+∠DBF=180°，
    ∴∠C=∠DBF，
    在△DEC和△DFB中，

    ∴△DEC≌△DFB，
    ∴DE=DF．
    （2）解：CE+BG=EG，
    证明：连接DA，
    在△ACD和△ABD中
    ，
    ∴△ACD≌△ABD，
    ∴∠CDA=∠BDA=60°，
    ∵∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°，
    ∴∠CDE=∠ADG，∠EDA=∠GDB，
    ∵∠BDF=∠CDE，
    ∴∠GDB+∠BDF=60°，
    在△DGF和△DEG中
    ，
    ∴△DGF≌△DEG，
    ∴FG=EG，
    ∵CE=BF，
    ∴CE+BG=EG．

    （3）解：∠EDG=（180°-α），

    （4）解：过C作CM⊥AD交AD的延长线于M，
    在△AMC和△ABC中
    ，
    ∴△AMC≌△ABC，
    ∴AM=AB．CM=BC，
    由（1）（2）（3）可知：DM+BE=DE，
    ∵AE=3，∠AED=90°，∠DAB=60°，
    ∴AD=6，
    由勾股定理得：DE=3，
    ∴DM=AB-6=BE+3-6=BE-3，
    ∴BE-3+BE=3，
    即BE=（3+3）．
    点评：本题综合考查了全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，勾股定理等知识点的应用，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．
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