Question

如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则⊙A与⊙E的半径的比值为________．

Answer 1

4：1
分析：设AB=a，CE=b，根据正方形性质得出BC=a，根据相切两圆性质求出AE=a+b，求出BE=a-b，在△BAE中根据勾股定理得出（a+b）²=a²+（a-b）²，求出a=4b，即可．
解答：设AB=a，CE=b，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC=a，
∴BE=a-b，
∵以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心以AB为半径的圆弧外切，
∴AE=a+b，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE²=AB²+BE²，
即（a+b）²=a²+（a-b）²，
a²+2ab+b²=a²+a²-2ab+b²，
a=4b，
则a：b=4：1，
故答案为：4：1．
点评：本题考查了正方形性质，相切两圆的性质，勾股定理等知识点，关键是得出关于a b的方程，题目比较典型，是一道比较好的题目．