Question

8．已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，直线AB y=mx+n与反比例函数y=$\frac{k}{x}$交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于C，OA=5，OC=4，点B的纵坐标为-4
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出AC，得出A的坐标，把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出解析式，把y=-4代入反比例函数的解析式求出B的横坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可求出一次函数的解析式；
（2）求出直线与y轴的交点D的坐标，分别求出△AOD和△OBD的面积，即可求出△AOB的面积．

解答 解：（1）∵在Rt△OAC中，OA=5，OC=4，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴A（-4，-3），
∵把A的坐标代入y=$\frac{k}{x}$得：k=xy=12，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$，
∵令y=-4，解得：x=-3，
∴B（-3，-4），
∵y=kx+b过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=-3}\\{-3m+n=-4}\end{array}\right.$，
解得：m=-1，n=-7，
∴一次函数的解析式为y=-x-7；

（2）设直线AB交y轴于D，
∵在y=-x-7中，令x=0时，y=-7，
∴D（0，-7），
∴S_△AOB=S_△OAD-S_△OBD=$\frac{1}{2}$×7×4-$\frac{1}{2}$×7×3=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了用待定系数法求出一次还是与反比例函数的解析式，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题等知识的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．