Question

19．如图，在△ABC中，∠A=50°，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，求：
（1）∠BOC的度数．
（2）在其他条件不变的情况下，若∠A=n°，则∠A与∠BOC之间有怎样的数量关系？

Answer 1

分析 （1）求出∠ABC+∠ACB的度数，根据角平分线的定义得出∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°；

（2）∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，
∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A，即∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．