Question

如图等腰三角形纸片OAB，现要求在纸片上截一个正方形，使它的面积尽可能大．
小明的一种设计方案是：如图，在扇形纸片OAB内，画正方形CDEF，使C、D在OA上，F在OB上；连接OE并延长交弧AB于I，画IH∥ED交OA于H，IJ∥EF交OB于J，再画JG∥FC交OA于G．
（1）你能说明吗？
（2）四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请证明．如果不是，请说明理由．
（3）如果扇形OAB的圆心角∠AOB=30°，OA=6cm，小明截得的四边形GHIJ面积是多少（，结果精确到0.1cm²）？

Answer 1

（1）证明：∵IJ∥EF，IH∥ED，
∴，，
∴．

（2）四边形GHIJ是正方形，
证明：∵CDEF是正方形，
∴EF=DE=CD=CF，
∵=，
∴JI=DI，
∵IH∥ED，IJ∥EF，JG∥FC，
∴IJ∥DH，IH∥JG，∠IHG=∠EDC=90°，
∴四边形GHIJ是正方形．

（3）解：设正方形GHIJ的边长为x，则GH=HI=JG=x，在直角三角形△OGJ，∠GOJ=30°，
∴OG=，OH=+x，∵OI²=OH²+HI²，
∴，
解得：，
∴正方形GHIJ的面积是4.3cm²．
分析：（1）根据平行线分线段成比例定理推出比例式（都等于），推出即可；
（2）证出四边形GHIJ是平行四边形，推出J=HI，∠IHG=90°，根据正方形的定义求出即可；
（3）设正方形GHIJ的边长为x，推出GH=HI=JG=x，根据∠GOJ=30°求出OG=，OH=+x，根据勾股定理得出OI²=OH²+HI²，代入求出即可．
点评：本题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，关键是证出正方形GHIJ和根据含30度的直角三角形的性质得出方程，题目比较典型．