Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30度．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．
（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围．
（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．

Answer 1

解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P．
由已知，ND=x，AN=20-x．
∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，
∴∠PAN=∠D=30度．
在Rt△APN中，PN=ANsin∠PAN=（20-x），
即点N到AB的距离为（20-x）．
∵点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，
∴x的取值范围是0≤x≤15．

（2）根据（1）S_△AMN=AM•NP=x（20-x）=-x²+5x．
∵＜0，
∴当x=10时，S_△AMN有最大值．
又∵S_{五边形BCDNM}=S_梯形-S_△AMN，且S_梯形为定值，
∴当x=10时，S_{五边形BCDNM}有最小值．
当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN．
则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形．
分析：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P，根据题意AM=x，易得AN=20-x；在Rt△APN中，根据三角函数的定义可得答案；注意x的取值范围；
（2）根据（1）△AMN的面积关系，可得当x=10时，S_△AMN有最大值；又有梯形的面积为定值，故可得ND=AM=10，AN=AD-ND=10，进而可得答案．
点评：此题综合性较强，综合考查了等腰梯形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质等知识点．