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    已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
    （1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
    （2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒
    		2
    个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S关于t的函数关系式．
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    分析：（1）利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求a、b、c的值即可；
    （2）存在．由（1）可求直线PB解析式为y=2x-12，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形；
    （3）由P（4，-4）可知直线OP解析式为y=-x，当P1落在x轴上时，M、N的纵坐标为-2，此时t=2，按照0＜t≤2，2＜t＜4两种情形，分别表示重合部分面积．
    解答：精英家教网解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c
    由题意得
    -
    b
    2a
    =4
    c=12
    4a+2b+c=0
    ，
    解得
    a=1
    b=-8
    c=12
    ，
    ∴二次函数的解析式为y=x2-8x+12，
    点P的坐标为（4，-4）；

    （2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形．理由如下：
    当y=0时，x2-8x+12=0，
    ∴x1=2，x2=6，
    ∴点B的坐标为（6，0），
    设直线BP的解析式为y=kx+m精英家教网
    则
    6k+m=0
    4k+m=-4
    ，
    解得
    k=2
    m=-12

    ∴直线BP的解析式为y=2x-12
    ∴直线OD∥BP，
    ∵顶点坐标P（4，-4），
    ∴OP=4
    		2

    设D（x，2x）则BD2=（2x）2+（6-x）2
    当BD=OP时，（2x）2+（6-x）2=32，
    解得：x1=
    2
    5
    ，x2=2，
    当x2=2时，OD=BP=2
    		5
    ，四边形OPBD为平行四边形，舍去，
    ∴当x=
    2
    5
    时四边形OPBD为等腰梯形，
    ∴当D（
    2
    5
    ，
    4
    5
    ）时，四边形OPBD为等腰梯形；

    （3）①当0＜t≤2时，
    精英家教网∵运动速度为每秒
    		2
    个单位长度，运动时间为t秒，则MP=
    		2
    t，
    ∴PH=t，MH=t，HN=
    1
    2
    （4-t），
    ∴MN=MH+HN=2+
    1
    2
    t，
    ∴S=（2+
    1
    2
    t）•t•
    1
    2
    =
    1
    4
    t2+t；
    ②当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，
    ∵MN∥OB
    ∴△P1EF∽△P1MN，
    ∴
    S△P1EF
    S△P1MN
    =(
    P1G
    P1H
    )2    ，
    ∴
    S△P1EF
    3
    4
    t2
    =(
    2t-4
    t
    )2    ，
    ∴S△P1EF=3t2-12t+12，
    ∴S=
    3
    4
    t2-（3t2-12t+12）=-
    9
    4
    t2+12t-12，
    ∴当0＜t≤2时，S=
    3
    4
    t2，
    当2＜t＜4时，S=-
    9
    4
    t2+12t-12．
    点评：本题考查了二次函数的综合运用．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．
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    已知二次函数y=ax2-（a+1）x-4（a为常数）
    （1）已知二次函数y=ax2-（a+1）x-4的图象的顶点在y轴上，求a的值；
    （2）经探究发现无论a取何值，二次函数的图象一定经过平面直角坐标系内的两个定点．请求出这两个定点的坐标；
    （3）已知关于x的一元二次方程ax2-（a+1）x-4=0的一个根在-1和0之间（不含-1和0），另一个根在2和3之间（不含2和3），试求整数a的值．

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