Question

如图（1），在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax²+8ax+16a+6经过点B（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，连接BC、AC．求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）在（2）的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l 与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l的解析式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把点B（0，4）代入抛物线y=ax²+8ax+16a+6，求出a的值，抛物线的解析式即可求出；
（2）首先求出抛物线的顶点坐标，进而求出C点坐标，设直线BD解析式为：y=kx+4（k≠0），求出k的值，过点C作CE⊥y轴于点E，证明△CEB≌△BOA（SAS），根据角与角之间的关系求出∠ABC=90°；
（3）存在．①当∠CA′B′=90°时，如图2所示，根据A′B′∥AB求出∠OA′B′=∠BAO，然后根据边角关系tan∠ECA′=，进而求出A′坐标，即可求出直线的解析式；②当∠A′CB′=90°时，如图3所示，过点C作CE⊥y轴于点E，易证△A′FC≌△B′EC，结合①求出B′坐标，即可求出直线解析式．
解答：（1）解：由题意知：16a+6=4
解得：a=
故抛物线的解析式为：，

（2）证明：如图1，由抛物线的解析式知：顶点D坐标为（-4，6）
∵点C的纵坐标为-4，且在抛物线的对称轴上，
∴C点坐标为（-4，-4）
设直线BD解析式为：y=kx+4（k≠0）
有：6=-4k+4，
解得
∴BD解析式为
∴直线BD与x轴的交点A的坐标为（8，0）
过点C作CE⊥y轴于点E，则CE=4，BE=8
又∵OB=4，OA=8，
在△CEB和△BOA中，
∵，
∴△CEB≌△BOA（SAS），
∴CB=AB，∠1=∠2
∵∠2+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°
∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形，

（3）存在．
①当∠CA′B′=90°时，如图2所示，
∵A′B′∥AB，
∴∠OA′B′=∠BAO，
又∵∠EA′C+∠ECA′=90°，
∠OA′B′+∠EA′C=90°，
∴∠BAO=∠OA′B′，
∴∠ECA′=∠BAO，
∵tan∠BAO=
∴tan∠ECA′=
∴EA′=2，A′O=2，
∴A′坐标为（-2，0），
B′坐标为（0，-1），
∴直线l解析式为，
②当∠A′CB′=90°时，如图3所示，
过点C作CE⊥y轴于点E，
利用△ABC是等腰直角三角形，
∵∠A′CF+∠FCB′=90°，
∠B′CE+∠FCB′=90°，
∴∠B′CE=∠A′CF，
在△A′FC和△B′EC中，
∵，
∴△A′FC≌△B′EC（AAS），
则A′F=B′E
由①tan∠B′A′O=
设B′坐标为（0，n）
则有
解得
B′坐标为（0，），
故直线l解析式为．
点评：本题主要考查了二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质，特别是（3）问需要分类讨论，此问很容易出现漏解，此题难度较大．