Question

已知a，b，c是三角形三条边的长，求证：方程b²x²+（b²+c²-a²）x+c²=0无实数根．

Answer 1

考点：根的判别式,三角形三边关系

专题：证明题

分析：根据三角形中三边的关系，计算方程b²x²+（b²+c²-a²）x+c²=0的△的符号后，判断方程的根的情况

解答：证明：∵a、b、c为三角形的三边长，
∴△=（b²+c²-a²）²-4b²c²=（b²+c²-a²+2bc）（b²+c²-a²-2bc）=[（b+c）²-a²][（b-c）²-a²]=（b+c+a）（b+c-a）（b-c+a）（b-c-a），
∵三角形中两边之和大于第三边，
∴b+c-a＞0，b-c+a＞0，b-c-a＜0
又∵b+c+a＞0，
∴△＜0，
∴方程b²x²+（b²+c²-a²）x+c²=0的根的情况是无实数根．

点评：考查一元二次方程根的判别式和三角形的三边关系．解决的关键是正确进行因式分解．