Question

如图，点A（3，n）在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，
（1）求n的值；
（2）若A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），A₃（x₃，y₃）为双曲线上y=的三点，且x₁＜x₂＜0＜x₃，请直接写出y₁，y₂，y₃的大小关系式；
（3）求AB的长．

Answer 1

解：（1）把A（3，n）代入y=得n==1，
即n的值为1；

（2）y₁，y₂，y₃的大小关系式为y₂＜y₁＜y₃；

（3）设OB=a，则BC=3-a，
∵线段OA的垂直平分线交OC于点B，
∴AB=OB=a，
在Rt△ABC中，AC=1，AB=a，BC=3-a，
∴AB²=BC²+AC²，即a²=（3-a）²+1²，解得a=，
∴AB=．
分析：（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式可求得n的值；
（2）由于k=3＞0，反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，则当x₁＜x₂＜0＜x₃，y₂＜＜y₁＜0，y₃＞0；
（3）设OB=a，则BC=3-a，根据线段垂直平分线的性质得到AB=OB=a，然后利用勾股定理得到a²=（3-a）²+1²，再解方程即可．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数y=图象上的点满足其解析式；当k＞0，反比例函数图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小；利用线段垂直平分线的性质可得到线段之间的相等关系，运用勾股定理可进行几何计算．