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    已知抛物线y=数学公式与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（C在B的左边）．
    （1）过A、O、B三点作⊙M，求⊙M的半径；
    （2）点P为弧OAB上的动点，当点P运动到何位置时△OPB的面积最大？求出此时点P的坐标及△OPB的最大面积．

    解：（1）∵抛物线y=与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（C在B的左边），
    ∴y=0时，0=，
    整理得出：x2-4x+3=0，
    解得：x1=1，x2=3，
    当x=0，则y=，
    由题意可得：A（0，），B（3，0），C（1，0），
    ∴OA=，OB=3，
    连接AB，∵∠AOB=90°，
    ∴AB为⊙M的直径，
    ∴AB=2，
    ∴⊙M的半径为；

    （2）在△AOB中，∵OA=，OB=3，∠AOB=90°，
    ∴tan∠OAB==，
    ∴∠OAB=60°，
    ∵点P为弧OAB上的动点，
    ∴∠OPB=60°，
    ∵OB=3是定值，要使△OPB面积最大，只要使OB边上的高最大，
    即点P到OB边的距离最大，
    ∴点P为为弧OAB的中点，此时为△OPB为等边三角形，
    且边长为3，
    过点P作PT⊥OB于点T，
    根据题意得出：OT=，PT=，
    ∴P（，），△OPB的最大面积为：×3×=．
    分析：（1）根据二次函数图象与坐标轴交点求法得出A，B，C坐标，进而得出AB的长，即可得出⊙M的半径；
    （2）首先得出利用点P为弧OAB上的动点，则∠OPB=60°，再利用OB=3是定值，要使△OPB面积最大，只要使OB边上的高最大，进而利用等边三角形的性质求出点P的坐标及△OPB的最大面积．
    点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及等边三角形的判定与性质和圆周角定理等知识，根据已知得出要使△OPB面积最大，只要使OB边上的高最大，即点P到OB边的距离最大，进而得出P点位置是解题关键．
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    已知抛物线y=x2+px+q上有一点M（x0，y0）位于x轴的下方．
    （1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜x2；
    （2）求证：x1＜x0＜x2；
    （3）当点M为（1，-1999）时，求整数x1，x2．

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    精英家教网已知抛物线C1与x轴的一个交点为交于（-4，0），对称轴为x=-1.5，并过点（-1，6），
    （1）求抛物线C1的解析式；
    （2）求出与抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式，并在C1所在的平面直角坐标系中画出C2的图象；
    （3）在（2）的条件下，抛物线C1与抛物线C2与相交于A，B两点（点A在点B的左侧），
    ①求出点A和点B的坐标；
    ②点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间、当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•燕山区一模）己知二次函数y1=x2-2tx+(2t-1)（t＞1）的图象为抛物线C1．
    （1）求证：无论t取何值，抛物线C1与y轴总有两个交点；
    （2）已知抛物线C1与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），将抛物线C1作适当的平移，得抛物线C2：y2=(x-t)2，平移后A、B的对应点分别为D（m，n），E（m+2，n），求n的值．
    （3）在（2）的条件下，将抛物线C2位于直线DE下方的部分沿直线DE向上翻折后，连同C2在DE上方的部分组成一个新图形，记为图形G，若直线y=-
    12
    x+b    （b＜3）与图形G有且只有两个公共点，请结合图象求b的取值范围．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图10-1，已知抛物线y = 与x轴交于A、B两点，与y轴交于

    点C，且OB=OC．

    （1）求抛物线的函数表达式；（2分）

    （2）若点P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为一边，在直线AB的同侧作等边三角形APM和BPN，求△PMN的最大面积，并写出此时点P的坐标；（3分）

    （3）如图10-2，若抛物线的对称轴与x轴交于点D，F是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，直线FD与y轴交于点E．是否存在点F，使△DOE与△AOC相似？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（4分）

     

        

     

     

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