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    2．如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF．
    （1）①如图1，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且S四边形ECBF=3S△EDF，则AE=2.5．
    ②如图2，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上点的M处，且MF∥CA，求EF的长
    （2）如图3，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=$\frac{4}{7}$，求$\frac{AF}{BF}$的值．

    分析 （1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF=S△DEF，则易得S△ABC=4S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到两个三角形面积比和AB，AE的关系，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；
    （2）首先判断四边形AEMF为菱形；再连结AM交EF于点O，设AE=x，则EM=x，CE=4-x，先证明△CME∽△CBA得到关于x的比例式，解出x后计算出CM的值，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；
    （3）作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x-1，BH=3-（7x-1）=4-7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x的值，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出AF：BF的值．

    解答 解：（1）如图①，
    ∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
    ∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
    ∴S△AEF≌S△DEF，
    ∵S四边形ECBF=3S△EDF，
    ∴S△ABC=4S△AEF，
    在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
    ∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
    ∵∠EAF=∠BAC，
    ∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
    ∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）2，即（$\frac{AE}{5}$）2=$\frac{1}{4}$，
    ∴AE=2.5，
    故答案为：2.5；

    （2）连结AM交EF于点O，如图②，
    ∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
    ∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
    ∵MF∥AC，
    ∴∠AEF=∠MFE，
    ∴∠AEF=∠AFE，
    ∴AE=AF，
    ∴AE=EM=MF=AF，
    ∴四边形AEMF为菱形，
    设AE=x，则EM=x，CE=4-x，
    ∵四边形AEMF为菱形，
    ∴EM∥AB，
    ∴△CME∽△CBA，
    ∴$\frac{CM}{CB}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EM}{AB}$，
    即$\frac{CM}{3}$=$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{5}$，
    解得x=$\frac{20}{9}$，CM=$\frac{4}{3}$，
    在Rt△ACM中，AM=$\sqrt{A{C}^{2}+C{M}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
    ∵S菱形AEMF=$\frac{1}{2}$EF•AM=AE•CM，
    ∴EF=2×$\frac{\frac{4}{3}×\frac{20}{9}}{\frac{4\sqrt{10}}{3}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{9}$；
    （3）如图③，作FH⊥BC于H，
    ∵EC∥FH，
    ∴△NCE∽△NFH，
    ∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=$\frac{4}{7}$：FH，
    ∴FH：NH=4：7，
    设FH=4x，NH=7x，则CH=7x-1，BH=3-（7x-1）=4-7x，
    ∵FH∥AC，
    ∴△BFH∽△BAC，
    ∴BH：BC=FH：AC，即（4-7x）：3=4x：4，解得x=0.4，
    ∴FH=4x=$\frac{8}{5}$，BH=4-7x=1.2，
    在Rt△BFH中，BF=$\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+（\frac{8}{5}）^{2}}$=2，
    ∴AF=AB-BF=5-2=3，
    ∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{3}{2}$．

    点评 本题考查了三角形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．解决此类题目时要各个击破．本题有一定难度，证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型．

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