Question

如图，直线y=-x+b与两坐标轴分别相交于A、B两点，以OB为直径作⊙C交AB于D，DC的延长线交x轴于E．
（1）写出A、B两点的坐标（用含b的代数式表示），并求tanA的值；
（2）如果AD=4，求b的值；
（3）求证：△EOD∽△EDA，并在（2）的情形下，求出点E的坐标．

Answer 1

解：（1）∵当x=0时，y=b，当y=0时，x=2b，
∴A（2b，0），B（0，b）
∴tanA===；

（2）AB===b
由OA²=AD•AB，得（2b）²=4•b，解得b=5；

（3）∵OB是直径，
∴∠BDO=90°，
则∠ODA=90°
∴∠EOC=∠ODA=90°，
又∵OC=CD
∴∠COD=∠CDO
∴∠COD+∠EOC=∠CDO+∠ODA
∴∠EOD=∠EDA
又∵∠DEA=∠OED
∴△EOD∽△EDA
D点作y轴的垂线交y轴于H，DF⊥AE与F．
∵A（2b，0），B（0，b）
∴OA=10，OB=5．
∴AB=5，
∵DF∥OB
∴===，
∴AF=OA=8，
∴OF=OA-AF=10-8=2，
∴DH=OF=2，
∵Rt△BHD中，BD²=BH²+HD²
∴BH==1，
∴CH=-1=，
∵DH∥OE，
∴=
∴OE=．
∴E的坐标是：（-，0）．
分析：（1）在解析式中分别令x=0与y=0，即可求得直线与y轴，x轴的交点坐标，即可求得OA，OB的长度，进而求得正切值；
（2）利用切割线定理，可以得到OA²=AD•AB，据此即可得到一个关于b的方程，从而求得b的值；
（3）利用两角对应相等的两个三角形相似即可证得两个三角形相似．
点评：本题考查了切割线定理，以及相似三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质是解题的关键．