Question

如图，二次函数y=ax²+bx+2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y=

2

x

在第一象限的图象相交于D、E两点，已知点D、E分别在正方形ABCO的边AB、BC上．
（1）求点A、D、E的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式，并用配方法求它的图象的顶点坐标．

Answer 1

分析：（1）由二次函数y=ax²+bx+2的图象与y轴相交于点A，即可求得点A的坐标，又由四边形ABCO是正方形，即可得点D的纵坐标为2，点E的横坐标为2，由点D与E在反比例函数y=

2

x

的图象上，即可求得点D与E的坐标；
（2）由点D、E在二次函数y=ax²+bx+2的图象上，利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式，然后利用配方法即可求得它的图象的顶点坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+2的图象与y轴相交于点A，
∴点A的坐标为（0，2）．（1分）
∵四边形ABCO是正方形，
∴点D的纵坐标为2，
当y=2时，2=

2

x

，x=1，
∴点D的坐标为D（1，2）．（1分）
∵CO=AO=2，
∴点E的横坐标为2，
当x=2时，y=

2

2

=1，
∴点E的坐标为E（2，1）．（1分）

（2）∵点D、E在二次函数y=ax²+bx+2的图象上，
∴

a+b+2=2 4a+2b+2=1.

（1分）
解得

a=- 1 2 b= 1 2 .

（1分）
∴这个二次函数的解析式为y=-

1

2

x²+

1

2

x+2．（1分）
y=-

1

2

x²+

1

2

x+2，
=-

1

2

（x²-x）+2，
=-

1

2

（x²-x+

1

4

）+

1

8

+2，
=-

1

2

（x-

1

2

）²+

17

8

．（2分）
二次函数图象的顶点坐标为（

1

2

，

17

8

）．

点评：此题考查了正方形的性质，点与函数图象的关系，待定系数法求二次函数的解析式以及配方法求二次函数顶点坐标的知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．