Question

5．如图，AD是△ABC的角平分线，E在CB的延长线上，且DE=CD，EF∥AC交AB的延长线于F，求证：AF+EF=AC．

Answer 1

分析 延长EF、AD相交于点H，根据两直线平行，内错角相等可得∠C=∠E，∠H=∠CAD，然后利用“角角边”证明△ACD和△HED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EH，根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，然后求出∠BAD=∠H，根据等角对等边可得AF=FH，再根据FH+EF=EH等量代换即可得证．

解答 解：如图，延长EF、AD相交于点H，
∵EF∥AC，
∴∠C=∠E，∠H=∠CAD，
在△ACD和△HED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠E}\\{∠H=∠CAD}\\{DE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△HED（AAS），
∴AC=EH，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠H，
∴AF=FH，
∵FH+EF=EH，
∴AF+EF=AC．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．