Question

10．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和外角∠BAF的平分线，且BE⊥AE．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）若AC=13，cosC=$\frac{5}{13}$，求矩形AEBD的面积．

Answer 1

分析 （1）求出∠AEB=90°，∠DAE=90°，根据等腰三角形性质求出∠BDA=90°，证出四边形AEBD是矩形即可；
（2）在Rt△ACD中，求出AD，CD即可解决问题；

解答 解：（1）四边形AEBD是矩形；理由如下：
∵AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠CAB，∠2=$\frac{1}{2}$∠BAF，
∴∠DAE=∠1+∠2=$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠ABF）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形．

（2）在Rt△ADC中，∵AC=13，cosC=$\frac{5}{13}$，∠ADC=90°，
∴CD=5，AD=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴BD=CD=5，
∴矩形BDAE的面积=5×12=60．

点评 本题考查了矩形的判定、等腰三角形性质、垂直定义、角平分线定义；熟练掌握矩形的判定方法，由等腰三角形的三线合一性质得出AD⊥BC是解决问题的关键．