Question

如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=________cm，∠AOB=________．

Answer 1

6    120°
分析：由AB垂直于OC，根据垂径定理得到D为AB的中点，可得AB=2AD=2BD，再由AB平分OC，可得OD=CD，由半径OC的长求出POD的长，在直角三角形AOD中，由半径OA及OD的长，利用勾股定理求出AD的长，可得出AB的长；由OA=OB，OD垂直于AB，根据三线合一得到OD为角平分线，可得出∠AOB=2∠AOD，而在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出sin∠AOD的值，利用特殊角的三角函数值求出∠AOD的度数，可得出∠AOB的度数．
解答：设OC与AB的交点为D，如图所示：

∵半径OC⊥AB，
∴点D为弦AB的中点，即AD=BD=AB，
又∵弦AB垂直平分OC，且OC=6cm，
∴OD=CD=OC=3cm，
在Rt△AOD中，OA=OC=6cm，OD=3cm，
根据勾股定理得：AD==3cm，
则AB=2AD=6cm，
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴OC为∠AOB的平分线，即∠AOC=∠BOC=∠AOB，
在Rt△AOD中，sin∠AOC===，
∴∠AOC=60°，
则∠AOB=2∠AOC=120°．
故答案为：6；120°
点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，垂径定理的内容为：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．