Question

（2012•内江）如果方程x²+px+q=0的两个根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁．x₂=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x²+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求

a

b

+

b

a

的值；
（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

Answer 1

分析：（1）先设方程x²+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x₁，x₂，得出

1

x1

+

1

x2

=-

m

n

，

1

x1

•

1

x2

=

1

n

，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．
（2）根据a、b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，得出a，b是x²-15x-5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出

a

b

+

b

a

的值．
（3）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=

16

c

，a、b是方程x²+cx+

16

c

=0的解，再根据c²-4•

16

c

≥0，即可求出c的最小值．

解答：解：（1）设方程x²+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x₁，x₂，
则：

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

m

n

，

1

x1

•

1

x2

=

1

x1x2

=

1

n

，
若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，
则这个一元二次方程是：x²+

m

n

x+

1

n

=0；

（2）∵a、b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，
∴a，b是x²-15x-5=0的解，且△=225+20=245＞0，
∴a≠b≠0，
a+b=15，ab=-5，

a

b

+

b

a

=

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

=

152-2×(-5)

-5

=-47．

（3）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=-c，ab=

16

c

，
∴a、b是方程x²+cx+

16

c

=0的解，
∴c²-4•

16

c

≥0，
c²-

43

c

≥0，
∵c是正数，
∴c³-4³≥0，
c³≥4³，
c≥4，
∴正数c的最小值是4．

点评：本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．