Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．现有一点D，
使得∠CDB＝∠CAB，DB＝CB．

（1）请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，可简要说明作法）；
（2）连接CD，与AB交于点E，求∠BEC的度数；
（3）以A为圆心AB长为半径作⊙A，点O在直线BC上运动，且以O为圆心r为半径的⊙O与⊙A相切2次以上，请直接写出r应满足的条件．

Answer 1

（1）（2）∠BEC＝90
（3）当0＜r＜2时，⊙O与⊙A相切4次；
当r＝2时，⊙O与⊙A相切3次；
当r＝8时，⊙O与⊙A相切3次；
当r＞8时，⊙O与⊙A相切4次．

试题分析：（1）如图，点D为所求．

（2）∵DB＝CB，∴∠DCB＝∠CDB．
又∵∠CDB＝∠CAB，∴∠DCB＝∠CAB．
∵∠CAB＋∠CBA＝90°，∴∠DCB＋∠CBA＝90°．即∠BEC＝90°．
（3）当0＜r＜2时，⊙O与⊙A相切4次；
当r＝2时，⊙O与⊙A相切3次；
当r＝8时，⊙O与⊙A相切3次；
当r＞8时，⊙O与⊙A相切4次．作图分析更直观
点评：本题难度中等，主要考查学生尺规作图能力和圆的相切知识点的掌握。根据两圆半径长度作图分析两圆位置关系为解题关键。