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    （2009•荆州二模）如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
    		2
    ，另有一个等腰梯形DEFG（GF‖DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB、AC上，且G、F分别是AB、AC的中点，P点为AG上的一动点．
    （1）填空：等腰梯形DEFG的面积为
    6
    6

    （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图②）．
    探究1：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEF′G′重叠部分的面积为y，直接写出y与x的函数关系式和自变量x的取值范围；
    探究2：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，设过动点P且平分此菱形面积的直线交GF于去，当S△PGQ=
    		2
    8
    时，求P点的位置；若不能，请说明理由．
    分析：（1）首先根据勾股定理求得AB=AC=4；然后由三角形中位线定理易证△AGF∽△ABC，则由“相似三角形的面积比等于相似比的平方”和比例的性质得到S梯形DEFG的值；
    （2）①本题要分两种情况解答：0≤x＜2
    		2
    和2
    		2
    ≤x≤4
    		2
    ；
    ②BG∥DG′，GG′∥BC推出四边形BDG′G是平行四边形；当BD=BG=
    1
    2
    AB=2时，四边形BDG′G为菱形．
    解答：解：（1）如图①，∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4
    		2
    ，
    ∴AB=AC=4．
    ∴S△ABC=
    1
    2
    ×4×4=8．
    ∵G、F分别是AB、AC的中点，
    ∴GF
    ∥
    .
    1
    2
    BC，
    ∴△AGF∽△ABC，
    GF
    BC
    =
    1
    2
    ，
    ∴
    S△AGF
    S△ABC
    =(
    1
    2
    )2    =
    1
    4
    ，
    ∴
    S梯形DEFG
    S△ABC
    =
    3
    4
    ，则S梯形DEFG=
    3
    4
    S△ABC=
    3
    4
    ×8=6．
    故答案为：6；

    （2）①分两种情况：
    i）当0≤x＜2
    		2
    时，
    ∵GM=
    		2
    ，
    ∴S?BDG′G=
    		2
    x，
    ∴重叠部分的面积为y=6-
    		2
    x，
    ∴当0≤x＜2
    		2
    时，y与x的关系式为y=6-
    		2
    x；

    ii）如图②，当2
    		2
    ≤x≤4
    		2
    时，
    设FC与DG′交于点T，则∠TDC=∠TCD=45°
    ∴∠CTD=90°，TC=TD，
    作TQ⊥DC于K，则TK=DK=KC=
    1
    2
    （4
    		2
    -x），
    ∴重叠部分的面积为y=
    1
    2
    ×
    1
    2
    ×（4
    		2
    -x）2=
    1
    4
    x2-2
    		2
    x+8．

    ②能为菱形．理由如下：
    如图③，∵BG∥DG′，GG′∥BC
    ∴四边形BDG′G是平行四边形，
    当BD=BG=
    1
    2
    AB=2时，四边形BDG′G为菱形
    此时可求得x=2，
    ∴当x=2秒时，四边形BDG′G为菱形．

    存在这样的动点P．理由如下：
    易求△PGQ的边GQ上的高为
    		2
    ．
    则
    1
    2
    a×
    		2
    =
    		2
    8
    ，
    解得，GQ=
    1
    4
    ．
    ∵PQ平分菱形BDGG′的面积，∴DP=GQ=
    1
    4
    ，即点P在点D左边
    1
    4
    处．
    点评：此题主要考查勾股定理、三角形中位线、等腰梯形的性质及菱形性质等知识点的综合运用，要求学生对所学知识能灵活运用．
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    +
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    =
    3
    		6
    +
    		2
    2
    +2
    		3
    3
    		6
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    		2
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    1
    4
    1
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