Question

如图，直线y=x+2与x轴交于点B，与双曲线y=（m+5）x^2m+1交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若三角形AOB的面积为1，求A点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据反比例函数的定义得2m+1=-1，解方程得m=-1，于是得到反比例函数解析式为y=

4

x

；
（2）根据x轴上点的坐标特征得把y=0代入y=x+2得x=-2，于是得到B点坐标为（-2，0）；根据三角形面积公式得A点坐标为（4，1）．
（3）分三种情况讨论即可求得；

解答： 解：（1）由题意得：
2m+1=-1
m=-1
所以双曲线的解析式为：y=

4

x

；
（2）过点A作AD垂直x轴于D点
把y=0代入y=x+2得
x=-2
∴B点的坐标为（-2，0）
∴OB=2
∵三角形AOB的面积为1
∴

1

2

OB×AD=1
∴AD=1，
把y=1代入y=

4

x

得
x=4
∴点A坐标是（4，1）；
（3）存在；
∵点A坐标是（4，1），
∴OA=

42+12

=

17

，
当OP=OA时，P点的坐标为（-

17

，0）或（

17

，0）；
当AP=OA时，P点的坐标为（8，0）；
当AP=OP时，P点的坐标为（

17

8

，0）；
综上，P点的坐标为（-

17

，0）或（

17

，0）或（8，0）或（

17

8

，0）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．