Question

如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．
（1）求证：DE=BF；
（2）连接AF，BE，试判断四边形AFBE的形状并说明理由．

Answer 1

证明：（1）证法一：如图：
记EF与AC交点为G，EF与AB的交点为M．
由（1）证得四边形ABCD为菱形，
所以对角线AC平分∠A，
即∠BAC=∠DAC．
又∵EF⊥AC，AG=AG，
∴△AGM≌△AGE，∴AM=AE．
又∵E为AD的中点，四边形ABCD为菱形，
∴AM=BM．∠MAE=∠MBF．
又∵∠BMF=∠AME，
∴△BMF≌△AME．
∴BF=AE．
∴BF=DE．
证法二：如图：连接BD
∵四边形ABCD为菱形
∴BD⊥AC
∵EF⊥AC
∴EF∥BD
∵BF∥DE
∴四边形BDEF是平行四边形
∴BF=DE．

（2）∵AD∥BC，AE=ED=BF（已知），
∴四边形AEBF为平行四边形．
分析：（1）要证BF=DE，而在原题中已知AE=DE，所以证明的方向就变为证BF=AE，而证BF=AE则可以通过证△FBM≌△EAM来实现；
（2）有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，AE和BF既平行又相等，所以四边形AEBF为平行四边形．
点评：此题主要考查菱形的判定和平行四边形的基本性质，难易程度适中，解答此类题目需要同学们熟练菱形及平行四边形的性质及判定定理．