Question

10．如图，已知矩形OABC在直角坐标系中，点A的坐标是（3，0），点C在y轴的正半轴上，点P是边AB上的一个动点（不与端点A，B重合），设过点P的反比例函数的解析式为y₁=$\frac{k}{x}$，且与BC边交于点Q．
（1）当PA=2时，求k的值；
（2）设过点P，Q的直线解析式为y₂=k′x+b，当S_矩形OABC=6S_△OCQ时，请求出在第一象限内y₁＜y₂的自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠OAB=90°，由点P是边AB上的一个动点，点A的坐标是（3，0），且PA=2得到P点坐标为（3，2），将P点坐标代入y₁=$\frac{k}{x}$，即可求出k的值；
（2）设OC=n，根据S_矩形OABC=6S_△OCQ，得出方程3n=6×$\frac{1}{2}$n•CQ，求出CQ=1，即Q点坐标为（1，n），由P点横坐标为3，根据图象得出在第一象限内双曲线在直线下方的部分对应的自变量x的取值范围即为所求．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB=90°，
∵点P是边AB上的一个动点，点A的坐标是（3，0），
∴当PA=2时，P点坐标为（3，2）．
∵反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$过点P，
∴k=3×2=6；

（2）设OC=n，
∵S_矩形OABC=6S_△OCQ，
∴3n=6×$\frac{1}{2}$n•CQ，
∴CQ=1，
∴Q点坐标为（1，n）．
∵点P、Q（1，n）都在反比例函数y₁=$\frac{k}{x}$的图象上，且P点横坐标为3，
∴在第一象限内y₁＜y₂的自变量x的取值范围是1＜x＜3．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形与三角形的面积，求出Q点横坐标进而利用数形结合是解题的关键．