Question

7．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为（2，0）；
（2）连接AD、CD，⊙D的半径为2$\sqrt{5}$，∠ADC的度数为90°；
（3）将此圆弧所在的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为D点，可得出D点坐标；
（2）在△AOD中AO和OD可由坐标得出，利用勾股定理可求得AD和CD，过C作CE⊥x轴于点E，则可证得△OAD≌△EDC，可得∠ADO=∠DCE，可得∠ADO+∠CDE=90°，可得到∠ADC的度数；
（3）先求得扇形DAC的面积，设圆锥底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的面积=πr•AD，可求得r．

解答 解：（1）如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，

∴D点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）如图2，连接AD、CD，过点C作CE⊥x轴于点E，

则OA=4，OD=2，在Rt△AOD中，可求得AD=2$\sqrt{5}$，
即⊙D的半径为2$\sqrt{5}$，
且CE=2，DE=4，
∴AO=DE，OD=CE，
在△AOD和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=DE}\\{∠AOD=∠CED}\\{OD=CE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠OAD=∠CDE，
∴∠CDE+∠ADO=90°，
∴∠ADC=90°，
故答案为：2$\sqrt{5}$；90°；
（3）弧AC的长=$\frac{90}{180}$π×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$π，
设圆锥底面半径为r则有2πr=$\sqrt{5}$π，解得：r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
所以圆锥底面半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案是：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查垂径定理和全等三角形的判定和性质、扇形和圆锥的有关计算等知识的综合应用，掌握确定圆心的方法，即确定出点D的坐标是解题的关键，在求圆锥底面半径时注意圆锥的侧面积计算公式利用．